こういう文章題的な漸化式は、実験、試行錯誤など根気が伴います。
ともあれ、コツはnのときとn+1のときで何が違うの？ということを考えることです。考える力が養われていくので根気よくいきましょう。
今回の場合は、nのときの分けられた平面の個数に、n+1になるとき何かが足されるのだろうと目星をつけます。
設問を見ると、それぞれの円が互いに2個ずつ、共有点を持つとあります。つまり、n+1個目の円を加えたとき、必ず2n個の点と交わることが分かります。2n個点が増えると、図形の数は同じ数だけ増えるので、(ここの議論はあまり上手くできる自信がないです。)漸化式は、a(n+1)=a(n)+2nとわかる。あとは階差数列に帰着させて終わりです。
