はい、未来進行形です。この場合は
「（事の成り行きとして）〜することになるだろう」
という意味で、
私達と1ヶ月一緒に過ごす事になるのだろうから、自分の家みたいにくつろいでね。
という訳になります。
未来進行形は他に、相手の予定を丁寧に尋ねる時や、
未来のある時点での一時的な動作を表す時に使います。
そうですね、ニュアンスが違ってくるんです。
未来形は単純に予定だとか、本人の意思がある場合に使います。
例文を使うと、
We'll stay with you for a month〜
私達はあなたと1ヶ月一緒に過ごします（予定、つもりです）
でも、ここでは未来進行形を使う事によって、
「このままいくと成り行き上そういう事になる」
と、自分の意思とは関係ない確定的な未来の
予定を表しています。
あ〜〜〜〜〜なるほど〜〜〜〜！！！
ばっちり分かりました！！！
すいません… 回答者さんの説明がとても分かりやすいので個人的に質問させてください……
私の高校では今関係代名詞をやってるのですが、
who とかthatは文をつなげる時に使うみたいですが、
どんな文でもつなげれるんですか？
また、つなげるならどこにwhoとかthatとか入れたらいいんでしょう…
時間があれば教えていただけませんか、？…
とりあえず今はコレだけ
ありがとうございます！！！
助かります
普通の未来形ではダメなんですか？