命題「任意の実数x,yに対して，x²+2xy+y²>0」とは，「xとyがどんな実数値をとっても，x²+2xy+y²の値は常に正になる」という意味です。
この否定は，「x²+2xy+y²の値が正にならないような実数値x,yがある」と言えばいいので，例えば「ある実数x,yに対して，x²+2xy+y²≦0」となります。
この否定された命題は真です。x²+2xy+y²≦0となるx,yとして，(x,y)=(0,0)が存在するからです。
否定される前の命題は偽です。x²+2xy+y²>0とならないようなx,yとして，(x,y)=(0,0)があるからです。
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