回答の前に質問しますが、何処にbetterを入れるべきだと思いますか？
ごめんなさい！「何処に」は「どこに」と読むのです。紛らわしい表現使ってしまいました。
あなたには時間がないかもしれませんので、改めて質問せずに、回答致します！
まず、betterは比較級だというのは分かると思いますが、原級は何か言えますか？
恐らく、wellかgoodのどちらかを考えるでしょう。正解はwellです。goodは形容詞ですから、文中では、名詞の前にいるか、補語になっていなければいけません。
さて、wellは副詞なのですが、副詞の働きはかなり幅広く、動詞を修飾するだけでなく、形容詞や他の副詞、名詞や句・節、そして文全体を修飾できるというものです。
問題のbetterは、前のlook after his childrenという動詞句を修飾しています。
さて、本題のbetterの位置についてですが、原級のwellを「ジーニアス英和辞典」で調べると、「動詞の後で」という記述があります。よって、lookの前にはbetterは来ないということになります。また、look afterは群動詞と呼ばれ、lookとafterは切り離せません。よって、look better after 〜もNGです。最後に、afterは前置詞ですが、前置詞の後は名詞に相当する語が来ると決められているので、after better his childrenもNGです。よって、betterはその位置にあると言えます。
長々と失礼しました。分かりにくいと思いますので、画像を添付します。
追伸：あなたの回答についてですが、子どもたちを強調するだけだと、意味が変わってしまいます。betterが形容詞であり、better childrenとなっているのであれば、その考えでもokだと思います。
その通りです。his childrenは名詞相当語句です。それゆえに、前置詞の後ろには、名詞相当語句よりも先に副詞をおくことはできないのです。
どういたしまして！
頑張って下さい！
子供たちを強調するためですか？