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こんな感じになりました
計算に自信がありませんが、
方針としてはこれで良いと思います
接線の傾きを求めるのに導関数を用いていますが、
二次関数なので、判別式を使っても求められると思います。
キーワードにはtanの倍角の公式が含まれていませんが、
他に思いつかなかったので使ってみました。
解説と違っていて混乱されたらすみません。
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返信が遅くなり申し訳ありません！
三角関数の利用だったことに気づけませんでした。
本当に感謝です。ありがとうございました！！